Закон Гука [в понятной форме]

Обычно при изучении закон Гука не вызывает особых сложностей. Запомнить, что деформация в упругом теле пропорциональна приложенной к нему силе, совсем не сложно.

Чаще всего, этого знания вполне достаточно для школьного курса, чтобы забыть про Гука навсегда :)… Чтобы он лучше запомнился, глянем на портрет.

Однако, если вы изучаете физику по углубленной программе или если ваш преподаватель хочет добиться демонстрации понимания этого закона на более высоком уровне, то сказанного явно недостаточно. Кроме того, при поступлении в технический институт, знаний этих тоже мало. Ведь на законе Гука держится великий и ужасный сопромат! Да и при изучении механики — это один из самых важных законов.

Давайте изложим основные постулаты Гука в простой и понятной читателю форме, ну а если вопросы останутся — пишем их в комментариях или в личку.

Введение и основные понятия

Наверняка вы в детстве играли с такой штукой, которая называется лук со стрелами. Принцип работы этого устройства очень прост. Есть согнутая палка, чаще всего из ивы, и есть тетива, которая связывает концы палки. Когда мы натягиваем тетиву стрелой, то сила упругости палки заставляет её возвращаться к прежнему состоянию и передавать энергию стреле.

Как вы догадываетесь, ключевое слово тут — сила упругости. Это такая сила, которая возникает в теле при попытке это тело согнуть или изменить его форму, то есть деформировать. Кстати, про силу полезно прочитать вот это. Обусловлена она внутренним взаимодействием частичек.

И тут тоже появилось новое слово — деформация. Думаю, пояснять что это такое, не нужно.

А вот сказать, что деформация бывает обратимая (упругая) и необратимая, важно. Ведь закон Гука работает в случаях существования упругой деформации.

Упругая деформация — это такая деформация, после которой тело возвращается к своим первоначальным геометрическим характеристикам, после снятия внешнего воздействия.

Простейшие виды деформации — это растяжение и сжатие. Сразу вспоминаем пружину. Ну и в учебнике физики вы как раз-таки встретите закон Гука, который раскрывается на примере пружины.

Формулировка закона Гука

Формулируется закон так:

Деформация, возникающая в упругом теле, пропорциональна приложенной к этому телу силе.

Если записывать его в виде формулы, то имеем следующее:

F = -kx ,

где F — сила упругости в теле, k — коэффициент упругости или жесткости, x — линейное изменение размеров тела.

Почему тут минус? Да его можно и не писать, если понимать логику. Вспоминаем, что сила есть вектор. Так как сила, возникающая в теле, противонаправлена силе приложенной, то формула записывается с минусом.

Иногда вместо k или x используют другие обозначения, но смысл от этого не меняется.

Разбираемся с новыми буквами

У нас появилась сила упругости в теле. Именно она в формуле — это F. Вспоминаем, что по третьему закону Ньютона (обязательно читаем), она равна силе или векторной сумме сил, воздействующей на тело. Мы считаем именно эту силу. Поэтому, если, скажем, предстоит решить задачу, где книга лежит на столе, а стол гнется, то мы считаем, что сила упругости в столе, равна нашему любимому m*g, так как книга притягивается к полу и вызывает изгиб стола.

k — это жесткость тела. Зависит она от материала и характеристик тела. Очевидно, что деревянная доска и железная труба будут иметь разные жесткости.

Стоит отметить, что это величина расчётная, но в начале изучения вы будете брать её из табличек и считать константой. А вот дальше нужно будет вспомнить/изучить, такую штуку, как модуль упругости первого рода или модуль Юнга. Это уже основы сопротивления материалов и начнется «О Боже, профессор нинада!»)

х — это линейное удлинение. Считается очень просто. Сколько стало минус сколько было :). В сложных случаях считается тоже посложнее, но нужны просто знания геометрии.

Новые важные понятия и обобщенный закон Гука

Про обобщенный закон Гука следует написать отдельную статью. Здесь же отмечу, что искушенный читатель наверняка заметил — пока речь идёт только об одноосном деформировании. Мы работаем с пружиной, которую можно растянуть вдоль оси икс или сжать вдоль оси икс. А что, если пружина будет растягиваться и сгибаться одновременно…

Реальные тела обычно деформируются во все стороны. В дело вступают сразу три направления.

В этом случае нужно использовать обобщенный закон Гука. Используются так называемые тензоры. Это большая тема, а тут отметим, что если вас вдруг спросили, а какие ограничения есть у стандартного закона Гука, то обязательно не забудьте сказать, что деформация должна происходить вдоль одной оси.

Ещё при разговоре об ограничениях выполнения закона стоит отметить про предел пропорциональности. Это максимальное механическое нагружение, до которого выполняется закон Гука. Смотрим на график. По оси Ыгрик у нас отложено механическое напряжение (читай как сила для упрощения), а по оси Ыкс — изменение размеров. Пока у нас есть линейная зависимость, отмеченная красной прямой линией, закон Гука будет выполняться.

Все тела ведут себя по разному и при достижении точки А одни тела развалятся/сломаются, а другие необратимо удлинятся/сожмутся. В конкретном примере тело расслюнявило, но оно не сломалось. Связь между силой и деформацией стала нелинейной.

Закон Гука выполняется только при малых деформациях и далеко не для всех материалов! Так, для многих полимеров закон Гука не будет выполняться. Выполняется он только, напомним, в линейных системах.

Как же описывать связь силы упругости и деформации в нелинейных системах, т.е. когда деформация не мала. Или что делать, когда закон Гука неприменим. Очень хорошо, что вы об этом задумались! Но это большая и сложная тема. Всё опять сводится к закону Гука в обобщенной форме и условно принимается, что деформация мала. Примерно так :)…

Но вообще, при больших деформациях следует использовать иные способа расчёта.

Техническая механика

Сопротивление материалов

Деформации при растяжении и сжатии

Продольные деформации при растяжении и сжатии

Характер деформаций, которым подвергается прямой брус при растяжении или сжатии мы определили, проведя опыт с резиновым брусом, на котором была нанесена сетка линий.

Теперь представим себе брус постоянного сечения имеющий длину l, один из концов которого защемлен, а к свободному концу приложена растягивающая сила F. Под действием этой силы брус удлинится на некоторую величину Δl, которую назовем абсолютным удлинением бруса.

Отношение абсолютного удлинения Δl к первоначальной длине бруса l назовем относительным удлинением и обозначим ε:

ε = Δl / l

Относительное удлинение — величина безразмерная, иногда его выражают в процентах.

Итак, деформация бруса при растяжении и сжатии характеризуется абсолютным и относительным удлинением или укорочением.

***

Закон Гука при растяжении и сжатии

Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой линейной зависимостью, которая называется законом Гука, по имени английского физика Р. Гука (1653-1703 г.г.), установившего этот закон.

Сформулировать закон Гука можно так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.

Математически эта зависимость записывается так:

σ = E ε.

Здесь Е — коэффициент пропорциональности, который характеризует жесткость материала бруса, т. е. его способность сопротивляться деформации; его называют модулем продольной упругости, или модулем упругости первого рода.

Модуль упругости, как и напряжение, выражаются в паскалях (Па).

Значения Е для различных материалов устанавливаются экспериментально-опытным путем, и их величину можно найти в соответствующих справочниках.

Так, для стали Е = (1,96.…2,16) х 105 МПа, для меди Е = (1,00…1,30) х 105 МПа и т. д.

Следует оговориться, что закон Гука справедлив лишь в определенных пределах нагружения.

Если в формулу закона Гука подставить полученные ранее значения относительного удлинения и напряжения: ε = Δl / l , σ = N / А, то можно получить следующую зависимость:

Δl = Nl / (EА).

Произведение модуля упругости на площадь сечения Е×А, стоящее в знаменателе, называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно и физико-механические свойства материала бруса и геометрические размеры поперечного сечения этого бруса.

Приведенную выше формулу можно читать так: абсолютное удлинение или укорочение бруса прямо пропорционально продольной силе и длине бруса, и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.

Выражение ЕА / l называют жесткостью бруса при растяжении и сжатии.

Приведенные выше формулы закона Гука справедливы лишь для брусьев и их участков, имеющих постоянное поперечное сечение, изготовленных из одного материала и при постоянной силе. Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса определяется, как алгебраическая сумма удлинений или укорочений отдельных участков:

Δl = Σ (Δli)

***

Поперечные деформации при растяжении и сжатии

Описанный ранее опыт с резиновым брусом, на котором нанесена сетка линий, показал, что при растяжении поперечные размеры бруса уменьшаются, а при сжатии — увеличиваются, т. е. брус становится либо тоньше, либо толще. Это явление характерно для брусьев, изготовленных из всех материалов.

Опытным путем установлено, что при одноосном растяжении или сжатии отношение относительных поперечной и продольной деформаций для данного материала — величина постоянная.

Впервые на эту зависимость указал французский ученый С. Пуассон (1781-1840 г.г.) и математически она записывается так:

|ε1| = ν |ε|,

где ν — коэффициент поперечной деформации, называемый коэффициентом Пуассона.

Коэффициент Пуассона является безразмерной величиной, и характеризует упругие свойства материала. При растяжении и сжатии этот коэффициент принимается одинаковым.

Значения коэффициента Пуассона для разных материалов установлены опытным путем и их величины можно найти в соответствующих справочниках.

***

Потенциальная энергия деформации при растяжении

При статическом (медленном) растяжении образца растягивающая сила F возрастает от нуля до какого-то значения, удлиняет образец на величину Δl и при этом совершает работу W.

Эта работа аккумулируется в деформируемом образце в виде потенциальной энергии деформации U, причем, пренебрегая незначительными потерями энергии (например, тепловыми), можно считать, что W = U.

Путем изучения диаграмм растяжения образцов, установлено, что потенциальная энергия упругой деформации стержня длиной l постоянного поперечного сечения А при одинаковой во всех сечениях продольной силе N = F будет равна:

U = W = F Δl / 2 = N2 l / (2E А)

Сопротивление материалов оперирует, также, таким понятием, как удельная потенциальная энергия деформации, которая подсчитывается, как потенциальная энергия, приходящаяся на единицу объема бруса.

При одновременном действии растягивающих и сжимающих нагрузок или ступенчатом изменении размеров поперечного сечения бруса, его разбивают на однородные участки и для каждого подсчитывают потенциальную энергию деформации. Потенциальную энергию деформации всего бруса определяют, как сумму потенциальных энергий отдельных участков.

Анализируя формулу потенциальной энергии деформации можно сделать вывод, что эта величина всегда положительная, поскольку в ее выражения входят квадраты линейных и силовых величин. По этой причине при вычислении потенциальной энергии деформации нельзя применять принцип независимости действия сил (поскольку квадрат суммы не равен сумме квадратов слагаемых).

Единицей измерения потенциальной энергии деформации, как и работы, является джоуль (Дж).

***

Материалы раздела «Растяжение и сжатие»:

• Основные понятия о деформации растяжения и сжатия.
• Расчеты на прочность при растяжении и сжатии. Статически неопределимые задачи.

Смятие

Правильные ответы на вопросы Теста № 5

№ вопроса	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Правильный вариант ответа	3	3	1	2	1	3	2	2	1	1

Сила упругости. Закон Гука

Сила упругости

Любое тело, когда его деформируют и оказывают внешнее воздействие, сопротивляется и стремиться восстановить прежние форму и размеры. Это происходит по причине электромагнитного взаимодействия в теле на молекулярном уровне.

Деформация — изменение положения частиц тела друг относительно друга. Результат деформации — изменение межатомных расстояний и перегруппировка блоков атомов.

Определение. Что такое сила упругости?

Сила упругости — сила, возникающая при деформации в теле и стремящаяся вернуть тело в начальное состояние.

Рассмотрим простейшие деформации — растяжение и сжатие

На рисунке показано, как действует сила упругости, когда мы сжимаем или растягиваем стержень.

Закон Гука

Для малых деформаций x ≪ l справедлив закон Гука.

Закон Гука

Деформация, возникающая в упругом теле, пропорциональна приложенной к телу силе.

F у п р = — k x

Здесь k — коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью. Единица измерения жесткости системе СИ Ньютон на метр. Жесткость зависит от материала тела, его формы и размеров.

Знак минус показывает, что сила упругости противодействует внешней силе и стремится вернуть тело в первоначальное состояние.

Существуют и другие формы записи закона Гука. Относительной деформацией тела называется отношение ε = x l . Напряжением в теле называется отношение σ = — F у п р S . Здесь S — площадь поперечного сечения деформированного тела. Вторая формулировка закона Гука: относительная деформация пропорциональна напряжению.

ε = σ E .

Здесь E — так называемый модуль Юнга, который не зависит от формы и размеров тела, а зависит только от свойств материала. Значение модуля Юнга для различных материалов широко варьируется. Например, для стали E ≈ 2 · 10 11 Н м 2 , а для резины E ≈ 2 · 10 6 Н м 2

Закон Гука можно обобщить для случая сложных деформаций. Рассмотрим деформацию изгиба стержня. При такой деформации изгиба сила упругости пропорциональна прогибу стержня.

Концы стержня лежат на двух опорах, которые действуют на тело с силой N → , называемой силой нормальной реакции опоры. Почему нормальной? Потому что эта сила направлена перпендикулярно (нормально) поверхности соприкосновения.

Если стержень лежит на столе, сила нормальной реакции опоры направлена вертикально вверх, противоположно силе тяжести, которую она уравновешивает.

Вес тела — это сила, с которой оно действует на опору.

Силу упругости часто рассматривают в контексте растяжения или сжатия пружины. Это распространенный пример, который часто встречается не только в теории, но и на практике. Пружины используются для измерения величины сил. Прибор, предназначенный для этого — динамаметр.

Динамометр — пружина, растяжение которой проградуированно в единицах силы. Характерное свойство пружин заключается в том, что закон Гука для них применим при достаточно большом изменении длины.

При сжатии и растяжении пружины действует закон Гука, возникают упругие силы, пропорциональные изменению длины пружины и ее жесткости (коэффициента k ).

В отличие от пружин стержни и проволоки подчиняются закону Гука в очень узких пределах. Так, при относительной дефомации больше 1% в материале возникают необратимые именения — текучесть и разрушения.

1. Деформация тел. Сила упругости. Закон Гука

Известно, что на все тела, находящиеся на Земле, действует сила тяжести, обусловленная гравитацией.

Какие ещё силы могут возникнуть? Рассмотрим несколько примеров.

(1). На яблоко в тарелке действует сила притяжения Земли. Фрукт не проваливается сквозь тарелку, а находится в покое.

Значит, существует сила, которая уравновешивает силу тяжести.

(2). Рассмотрим тело, подвешенное на нити. Сила тяжести будет направлена вниз.

Тело не может упасть, потому что силу тяжести компенсирует сила натяжения нити.

(3). Проведём опыт.

Позволим гире опуститься на середину доски на опорах.

Сила тяжести гири воздействует на доску и оказывает деформацию изгиба — заставляет сгибаться. Свойство упругости доски вызывает противоположную силу — силу реакции опоры — для того, чтобы вернуться в исходное, недеформированное состояние. Обе силы направлены вдоль одной прямой через центр масс гири, но направления противоположны, поэтому сумма сил равна нулю.

Под весом гири доска прогнулась — изменила свою форму.

Деформацией тела называют изменение размера или формы тела под воздействием внешних сил.

При изменении формы и размера под воздействием деформирующих сил каждое упругое тело пытается вернуться в начальное состояние.

Сила упругости — сила, которая возникает при деформации тела и стремится вернуть его

в исходное состояние.

Сила упругости — векторная величина, обозначается (vec{F})(_{упр}).

Чем сильнее давит тело на опору, тем больше деформация и возникающая в ответ на деформацию сила упругости. Деформация опоры прекращается в тот момент, когда действующие по вертикали силы уравновесят друг друга (сила упругости равна силе тяжести).

Если исчезнет деформирующая сила, то исчезнет и сила упругости.

В зависимости от приложенных сил различают виды деформации:

• деформация растяжения и сжатия;

• деформация сдвига;

• деформация изгиба;

• деформация кручения.

Деформация называется упругой в случае, если тело полностью восстановило свою форму и объём после прекращения действия деформирующей силы.

(4). Рассмотрим силы, действующие в опыте с гирей, подвешенной на нити.

Синей стрелкой обозначен вектор силы тяжести (vec{F_2}), направленной к центру Земли (вертикально вниз). Силе тяжести противодействует сила упругости нити (vec{F_1}), называемая силой натяжения нити. Она обозначена красной стрелкой, направленной вверх.

Гиря не движется, значит, силы компенсируют друг друга, сила тяжести равна силе упругости: (vec{F_1}-vec{F_2}=0); но направлена противоположно.

Подвесом называют нить, на которую подвешивается тело. Обычно имеют в виду нерастяжимую прочную нить.

Подвесом может быть упругое тело: пружина, резина. Значит, оно может растягиваться (деформироваться) под действием силы тяжести тела. При растяжении длина подвеса изменяется на некоторую величину, которую называют удлинением: (Delta l=l-l_0), где (l_0) — начальная длина нити, а (l) — конечная длина.

Закон Гука: изменение длины тела при растяжении (или сжатии) прямо пропорционально модулю силы упругости

F упр = k ⋅ Δ l , где

(Δl) — удлинение тела (изменение его длины),

(k) — коэффициент пропорциональности, который называется жёсткостью (пружины), которая зависит от материала.

Закон Гука работает только в случае, если деформация была упругая.

Литература:

1. Bangun H., Aulia F., Arianto A., Nainggolan M. Preparation of mucoadhesive gastroretentive drug delivery system of alginate beads containing turmeric extract and anti-gastric ulcer activity. Asian Journal of Pharmaceutical and Clinical Research. 2019; 12(1):316–320. DOI: 10.22159/ajpcr.2019.v12i1.29715.
2. Bangun H., Aulia F., Arianto A., Nainggolan M. Preparation of mucoadhesive gastroretentive drug delivery system of alginate beads containing turmeric extract and anti-gastric ulcer activity. Asian Journal of Pharmaceutical and Clinical Research. 2019; 12(1):316–320. DOI: 10.22159/ajpcr.2019.v12i1.29715.
3. Bangun H., Aulia F., Arianto A., Nainggolan M. Preparation of mucoadhesive gastroretentive drug delivery system of alginate beads containing turmeric extract and anti-gastric ulcer activity. Asian Journal of Pharmaceutical and Clinical Research. 2019; 12(1):316–320. DOI: 10.22159/ajpcr.2019.v12i1.29715.
4. https://zen.yandex.ru/media/inznan/zakon-guka-v-poniatnoi-forme-5f8c91d3a70d4515e7a2739b.
5. https://k-a-t.ru/tex_mex/1-sopromat_rastyajen2/.
6. https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/sily-v-prirode/sila-uprugosti/.
7. https://www.yaklass.ru/p/fizika/7-klass/dvizhenie-i-vzaimodeistvie-tel-11864/deformatcii-tel-sila-uprugosti-zakon-guka-13746/re-9d6e9525-daca-44ed-9cfa-d0e5132fc60e.
8. Frédault, «Histoire de la médecine» (П., 1970).